Lũy thừa – Wikipedia tiếng Việt - Chia Sẻ Kiến Thức Điện Máy Việt Nam

Lũy thừa (từ Hán-Việt: 累乘 nghĩa là “nhân chồng chất lên“) là một phép toán toán học, được viết dưới dạng an, bao gồm hai số, cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, và được phát âm là “a lũy thừa n”. Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số:

a^{n}=\underbrace {a\times \dots \times a} _{n\,{\textrm {}}}.

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó

$a n$

Bạn đang đọc: Lũy thừa – Wikipedia tiếng Việt

được gọi là “lũy thừa bậc n của a“, “a lũy thừa n“, hoặc hầu hết ngắn gọn là “a mũ n“
$a^{2}$
$a^{3}$

Ta có a1 = a, và, với mọi số nguyên dương m và n, ta có am ⋅ an = am+n. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, a0 được định nghĩa là 1, a−n (với n là số nguyên dương và a không phải là 0) được định nghĩa là 1/an. Đặc biệt, a−1 bằng 1/a, nghịch đảo của a.

Định nghĩa về lũy thừa hoàn toàn có thể được lan rộng ra để cho phép bất kể số mũ thực hoặc phức nào. Luỹ thừa theo số mũ nguyên cũng hoàn toàn có thể được định nghĩa cho nhiều loại cấu trúc đại số, gồm có cả ma trận .Luỹ thừa được sử dụng thoáng đãng trong nhiều nghành nghề dịch vụ, gồm có kinh tế tài chính học, sinh học, hóa học, vật lý và khoa học máy tính, với những ứng dụng như lãi kép, tăng dân số, động học phản ứng hóa học, hành vi sóng và mật mã khóa công khai minh bạch .

Mục Lục

Lũy thừa với số mũ nguyên[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa của 0 và 1[sửa|sửa mã nguồn]

0^{n}=0\,

1^{n}=1\,

Lũy thừa với số mũ nguyên dương[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a : [ 1 ]

a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}

a^{m-n}=a^{m}:a^{n}

\forall

a ≠ 0

(a^{m})^{n}=a^{mn}

a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}

(ab)^{n}=a^{n}.b^{n}

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}

Đặc biệt, ta có :

a^{1}=a

Trong khi những phép cộng và phép nhân có đặc thù giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán .Tương tự những phép cộng và nhân có tính phối hợp, còn phép tính lũy thừa thì không .. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của những lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên :

a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}\neq (a^{m})^{n}=a^{(mn)}=a^{mn}

Lũy thừa bậc chẵn của một số ít âm là số dương .Lũy thừa bậc lẻ của 1 số ít âm là số âm .

Lũy thừa với số mũ 0[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa với số mũ 0 của số a ≠ 0 được quy ước bằng 1.

a^{0}=1

Chứng minh :

1={a^{n}}:{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}

Lũy thừa với số mũ nguyên âm[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm -n, a khác 0 và n là số nguyên dương là:

a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}

Ví dụ

3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3.3.3.3}}={\frac {1}{81}}

Cách suy luận ra ” lũy thừa với số mũ nguyên âm ” từ ” lũy thừa với số mũ 0 ” :

a^{0}=a^{n-n}={a^{n}}:{a^{n}}=a^{n}.{\frac {1}{a^{n}}}=a^{n}.a^{-n}

Trường hợp đặc biệt quan trọng : lũy thừa của số a ≠ 0 với số mũ − 1 là số nghịch đảo của nó .

−
1

1
a

{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}

$a^{-1}={\frac {1}{a}}.$

Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ[sửa|sửa mã nguồn]

Căn bậc n của một số ít thực dương[sửa|sửa mã nguồn]

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xn = a.[2]

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là n√a, trong đó √ là ký hiệu căn.

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản b/c (b, c là số nguyên, trong đó c dương), của số thực dương a được định nghĩa là[3]

a^{\frac {b}{c}}=(a^{b})^{\frac {1}{c}}={\sqrt[{c}]{a^{b}}}

định nghĩa này hoàn toàn có thể lan rộng ra cho những số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa .

Lũy thừa với số mũ thực[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa của số e[sửa|sửa mã nguồn]

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:

(e)^{k}=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}

=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}.

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ex+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực[sửa|sửa mã nguồn]

Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn[4]

b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

x\approx 1.732

thì

5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241.

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng số lượng giới hạn của những số hữu tỷ .

Logarit tự nhiên

ln
⁡

(
x
)

{\displaystyle \ln {(x)}}

$\ln {(x)}$ là hàm ngược của hàm e-mũ ex. Theo đó

ln
⁡
x

{\displaystyle \ln x}

$\ln x$ là số b sao cho x = e b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a

nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,

Điều này dẫn tới định nghĩa

a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực tương thích với định nghĩa lũy thừa thực nhờ số lượng giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây .

Lũy thừa với số mũ phức[sửa|sửa mã nguồn]

Lũy thừa số mũ phức của số e[sửa|sửa mã nguồn]

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau.
Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

Xem thêm: ABO là gì? Đam Mỹ là gì? Tổng hợp các kiến thức liên quan về ABO

e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x

Sau đó với số phức

z
=
x
+
y
⋅
i

{\displaystyle z=x+y\cdot i}

$z=x+y\cdot i$ , ta có

e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\cdot \sin y)

Lũy thừa số mũ phức của số thực dương[sửa|sửa mã nguồn]

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa az được định nghĩa là

a^{z}={{\big (}e^{\ln a}{\big )}}^{z}=e^{z\cdot \ln a}

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình ex = a.

Nếu z = x + y ⋅ i { \ displaystyle z = x + y \ cdot i }, ta có

a^{z}=e^{\ln a\cdot (x+iy)}=

e^{x\ln a+i\cdot y\ln a}

=e^{x\cdot \ln a}\cdot {\big (}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big )}

=a^{x}\cdot {\big (}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big )}

Tính chất Lũy Thừa[sửa|sửa mã nguồn]

Tính chất cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

1) an = a

{\displaystyle \times }

$\times$ a

{\displaystyle \times }

…

{\displaystyle \times }

( n thừa số a )

−
n

a
×
a
×
a
×
.
.
.
a

{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times …a}}}

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}$

3 ) 0 n = 0 ( n > 0 )4 ) 1 n = 1

5) a0 = 1 (

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}

$a\neq 0$ )

6 ) a1 = a

−
1

1
a

{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}

$a^{-1}={\frac {1}{a}}$

Tính chất thường găp[sửa|sửa mã nguồn]

1 ) am + n = am × { \ displaystyle \ times } an

m
−
n

{\displaystyle a^{m-n}={a^{m}}:{a^{n}}}

$a^{m-n}={a^{m}}:{a^{n}}$ với mọi a ≠ 0

m
⋅
n

=
(

)

{\displaystyle a^{m\cdot n}=(a^{m})^{n}}

$a^{m\cdot n}=(a^{m})^{n}$

4 ) a m n = a ( m n ) { \ displaystyle a ^ { m ^ { n } } = a ^ { ( m ^ { n } ) } }

(
a
×
b

)

{\displaystyle (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}}

$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$

6 ) ( a b ) n = a n b n { \ displaystyle \ left ( { \ frac { a } { b } } \ right ) ^ { n } = { \ frac { a ^ { n } } { b ^ { n } } } }

b
c

(

)

{\displaystyle a^{\frac {b}{c}}=\left(a^{b}\right)^{1/c}={\sqrt[{c}]{a^{b}}}}

$a^{\frac {b}{c}}=\left(a^{b}\right)^{1/c}={\sqrt[{c}]{a^{b}}}$

8 ) a x = e x ⋅ ln ⁡ a { \ displaystyle a ^ { x } = e ^ { x \ cdot \ ln a } \, }9 ) e i x = cos ⁡ x + i ⋅ sin ⁡ x { \ displaystyle e ^ { ix } = \ cos x + i \ cdot \ sin x }

Hàm số lũy thừa[sửa|sửa mã nguồn]

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng

y
=

{\displaystyle y=x^{\alpha }}

$y=x^{\alpha }$ với

α
∈

{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }

$\alpha \in \mathbb {R}$

Tập xác lập[sửa|sửa mã nguồn]

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ

{\displaystyle \alpha }

$\alpha$

nếu $α { \ displaystyle \ alpha }$ $D=\mathbb {R}$
nếu $\alpha =0$ $α { \ displaystyle \ alpha }$ $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$
nếu $α { \ displaystyle \ alpha }$ $D=(0;+\infty )$

Hàm số

y
=
f
(
x
)
=

{\displaystyle y=f(x)=x^{\alpha }}

$y=f(x)=x^{\alpha }$ có đạo hàm tại mọi x > 0 và

y
′

=
α

α
−
1

{\displaystyle y’=\alpha x^{\alpha -1}}

$y'=\alpha x^{\alpha -1}$ là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dương[sửa|sửa mã nguồn]

Xét hàm số y = x α { \ displaystyle y = x ^ { \ alpha } } trên x > 0 :

Với ${\displaystyle \alpha >0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc”/></span><span class=$
Với $\alpha <0$ $( 0 ; + ∞ ) { \ displaystyle ( 0 ; + \ infty ) }$

$y = x α { \ displaystyle y = x ^ { \ alpha } }$ Đồ thị hàm sốtrên x > 0

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dương[sửa|sửa mã nguồn]

Đồ thị hàm số y = x α { \ displaystyle y = x ^ { \ alpha } } trên x > 0 có đặc thù sau :

Luôn đi qua điểm I(1;1)
Nếu $α < 0 { \ displaystyle \ alpha < 0 }$
Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ $α { \ displaystyle \ alpha }$

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ nguyên[sửa|sửa mã nguồn]

Đồ thị hàm số

y
=
f
(
x
)
=

{\displaystyle y=f(x)=x^{n}}

$y=f(x)=x^{n}$ với

n
∈

{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }

$n\in \mathbb {Z}$ có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n:

Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy do f(x) là hàm số chẵn
Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O do f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũ[sửa|sửa mã nguồn]

Hàm số

y
=
f
(
x
)
=

{\displaystyle y=f(x)=a^{x}}

$y=f(x)=a^{x}$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Hàm số

y
=
f
(
x
)
=

{\displaystyle y=f(x)=a^{x}}

với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và

y
′

ln
⁡
(
a
)

{\displaystyle y’=a^{x}\ln(a)}

$y'=a^{x}\ln(a)$ là đạo hàm cấp 1 của

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

$f(x)$

Đặc biệt hàm số

y
=

{\displaystyle y=e^{x}}

$y=e^{x}$ có đạo hàm cấp 1 là

y
′

{\displaystyle y’=e^{x}}

$y'=e^{x}$

Chiều biến thiên[sửa|sửa mã nguồn]

Hàm số

y
=
f
(
x
)
=

{\displaystyle y=f(x)=a^{x}}

đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0
$y=a^{x}$ Đồ thị hàm sốĐồ thị hàm số y = f ( x ) = a x { \ displaystyle y = f ( x ) = a ^ { x } } có những đặc thù sau :

Luôn đi qua điểm I(0;1) và điểm J(1;a)
Đồ thị nằm phía trên trục Ox và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang

Tìm chữ số tận cùng[sửa|sửa mã nguồn]

Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa[sửa|sửa mã nguồn]

Để tìm chữ số tận cùng, ta hoàn toàn có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được đổi khác như thế nào .

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 72004?

Phân tích:

Lũy thừa	71	72	73	74	75	76	77	78	…
Chữ số tận cùng	7	9	3	1	7	9	3	1	…

Giải:

Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy : 7, 9, 3, 1, 7, …2004 : 4 = 501 dư 0Vậy chữ số tận cùng của 72004 là 1 .

Tìm số những số 0 tận cùng của một tích[sửa|sửa mã nguồn]

Vì 2 x 5 = 10 nên muốn tìm số những số 0 tận cùng ta hoàn toàn có thể tìm số cặp 2,5 là ra luôn số những số 0 tận cùng .

^ Trần Văn Hạo, tr. 50
^
Trần Văn Hạo, tr. 52

Xem thêm: ABO là gì? Đam Mỹ là gì? Tổng hợp các kiến thức liên quan về ABO
^ Trần Văn Hạo, tr. 53
^ Trần Văn Hạo, tr. 55

Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp